Представление усилительных каскадов в виде активных линейных четырехполюсников

В курсе теории цепей, где изучаются различные способы анализа процессов в электрических цепях, вводится понятие так называемых многополюсников — своеобразных "черных ящиков" с внешними выводами, описываемых набором характеристик, связывающих между собой токи и напряжения на зажимах многополюсника.

Такая модель оказывается очень эффективной для малосигнального анализа усилительных схем на транзисторах. В этом случае используются т.н. активные линейные проходные четырехполюсники, представляющие собой многополюсники с двумя сторонами и имеющие по два вывода с каждой стороны (рис. 4.1). Одна пара выводов четырехполюсника (1—1') считается входной, другая (2—2') — выходной (то есть сам четырехполюсник является несимметричным).

Рис. 4.1. Схематическое изображение проходного линейного четырехполюсника

Основные уравнения проходных четырехполюсников составляются в терминах токов и напряжений внешних по отношению к четырехполюсникам цепей, подключенных к выводам 1—1' и 2—2'. В зависимости от решаемой задачи положительные направления токов этих ветвей могут выбираться различным образом (рис. 4.2). Поскольку речь идет о малосигнальном анализе (анализ для переменных составляющих токов и напряжений) линейных цепей, то будет корректным перейти от рассмотрения мгновенных значений переменных токов и напряжений \(i_1(t)\), \(i_2(t)\), \(u_1(t)\), \(u_2(t)\) к их комплексным амплитудам \(\dot{I}_1\), \(\dot{I}_2\), \(\dot{U}_1\), \(\dot{U}_2\) (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Варианты выбора положительных направлений токов и напряжений проходного четырехполюсника

В связи с тем, что число независимых основных уравнений многополюсника равно числу его независимых сторон, зависимости между токами и напряжениями на выводах проходного четырехполюсника могут быть описаны с помощью системы из двух независимых основных уравнений. Вид этих уравнений зависит от того, какие две величины из четырех токов и напряжений рассматриваются в качестве независимых переменных, какие — в качестве зависимых. Учитывая, что число сочетаний из четырех токов и напряжений по два равно шести, приходим к заключению, что основные уравнения четырехполюсника могут быть записаны в шести различных формах.

Форма \(Y\):

\( \left\{ \begin{aligned} \dot{I}_1 = Y_{11} \dot{U}_1 + Y_{12} \dot{U}_2 \\ \dot{I}_2 = Y_{21} \dot{U}_1 + Y_{22} \dot{U}_2 \end{aligned} \right. \)          (4.1)

форма \(Z\):

\( \left\{ \begin{aligned} \dot{I}_1 = Z_{11} \dot{I}_1 + Z_{12} \dot{I}_2 \\ \dot{U}_2 = Z_{21} \dot{I}_1 + Z_{22} \dot{I}_2 \end{aligned} \right. \)           (4.2)

форма \(H\):

\( \left\{ \begin{aligned} \dot{U}_1 = H_{11} \dot{U}_1 + H_{12} \dot{U}_2 \\ \dot{U}_2 = H_{21} \dot{I}_1 + H_{22} \dot{U}_2 \end{aligned} \right. \)          (4.3)

форма \(G\):

\( \left\{ \begin{aligned} \dot{U}_1 = G_{11} \dot{U}_1 + G_{12} \dot{I}_2 \\ \dot{U}_2 = G_{21} \dot{U}_1 + G_{22} \dot{I}_2 \end{aligned} \right. \)          (4.4)

форма \(A\):

\( \left\{ \begin{aligned} \dot{U}_1 = A_{11} \dot{U}_1 + A_{12} \dot{I}_2 \\ \dot{U}_2 = A_{21} \dot{U}_1 + A_{22} \dot{I}_2 \end{aligned} \right. \)          (4.5)

форма \(B\):

\( \left\{ \begin{aligned} \dot{U}_1 = B_{11} \dot{I}_1 + B_{12} \dot{I}_2 \\ \dot{U}_2 = B_{21} \dot{U}_1 + B_{22} \dot{I}_2 \end{aligned} \right. \)          (4.6)

При составлении основных уравнений проходного четырехполюсника в формах \(Y\), \(Z\), \(H\), \(G\) положительные направления токов и напряжений принято выбирать в соответствии с рис. 4.2,а, при составлении основных уравнений в форме \(A\) — согласно рис. 4.2,б, а при составлении основных уравнений в форме \(B\) — в соответствии с рис. 4.2,в.

Комплексные коэффициенты основных уравнений (4.1), (4.2), (4.3), (4.4), (4.5), (4.6) называются соответственно \(Y\)-, \(Z\)-, \(H\)-, \(G\)-, \(A\)- и \(B\)-параметрами четырехполюсника. Каждый из этих параметров имеет физический смысл какой-либо комплексной частотной характеристики проходного четырехполюсника, определяемой в режиме короткого замыкания или холостого хода. Например, параметр \( Y_{11} = {\left. \cfrac{\dot{I}_1}{\dot{U}_1} \right|}_{\large \dot{U}_2 = 0} \) имеет физический смысл комплексной входной проводимости четырехполюсника со стороны выводов 1—1' в режиме короткого замыкания на выводах 2—2', а параметр \( A_{11} = {\left. \cfrac{\dot{U}_1}{\dot{U}_2} \right|}_{\large \dot{I}_2 = 0} \) — физический смысл величины, обратной комплексному коэффициенту передачи по напряжению от входов 1—1' к входам 2—2' при холостом ходе на выводах 2—2'. Математически системы уравнений (4.1), ... (4.6) являются равносильными, поэтому коэффициенты уравнений связаны между собой элементарными алгебраическими соотношениями (таб. 4.1).

Таб. 4.1. Формулы связи между системами \(Y\)-, \(Z\)- и \(H\)-параметров четырехполюсника

>